在Rt三角形ABC中,角C等于90度,CD垂直于AB,垂足为点D.求证：如果BD等于3AD,角A等于60度

BD:CD=CD:AD
如果BD=3AD
则CD=(根号3)AD
所以角A=60°

证明：
作Rt△ABC斜边AB上的中线CE，交AB于点E
∵斜边AB上的中线CE
∴CE＝1/2AB
∴AE=BE=½AB
∴CE=AE=BE
∵BD=3AD
∴AD+BD=3AD+AD
即AB=4AD
∴AD=¼AB=¼·2AE
∴AD=½AE
∴AD=DE
∵△ACE中，AD=DE，CD⊥AB
∴AC=CE
∴CE＝AE＝AC
∴三角形ACE是等边三角形
∴∠A＝60°

∵Rt三角形ABC中，角C等于90度，CD垂直于AB，垂足为点D，BD=3AD
∴AC²+BC²=AB²
AD²+CD²+BD²+CD²=(4AD)²
AD²+CD²+9AD²+CD²=(4AD)²
10AD²+2CD²=16AD²
CD²=3AD²
∴AD²+CD²=AC²
4AD²=AC²
AC=2AD
又∵CD⊥AB
∴角A=60°

证明：作三角形ABC斜边上的中线CE，交AB于E点
1、因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以CE＝1/2AB＝AE
2、由题意知，AD＝1/3BD，即AD＝1/4AB
所以 AD＝1/2AE，即AD＝AE
又因为CD垂直于AB
所以AC＝CE
3、由（1）和（2）得 CE＝AE＝AC
所以三角形ACE是等边三角形，
所以角A＝60°

在AB上取点E,使DE=AD
在直角三角形ACD和直角三角形ECD中,CD是公共边,AD=DE
所以直角三角形ACD和直角三角形ECD全等
CE=AC
因为BD=3AD 而AE=2AD
所以,E点是斜边AB上的中点,于是 CE=1/2AB=AE
所以,CE=AE=AC,三角形ACE是等边三角形
则

相似三角形 射影定理!