设函数f(x)是周期为2012的连续函数.证明:存在ξ∈[0,2011]使得f(ξ)=f(ξ+1).
问题描述:
设函数f(x)是周期为2012的连续函数.证明:存在ξ∈[0,2011]使得f(ξ)=f(ξ+1).
答
记F(x)=f(x)-f(x+1),由f(x)的性质知,F(x)是周期为2012的连续函数.因为F(0)+F(1)+…+F(2011)=f(0)-f(1)+f(1)-f(2)+…+f(2011)-f(2012)=f(0)-f(2012)=0,∃i∈{0,1,…,2011}使...
答案解析:记F(x)=f(x)-f(x+1),利用f(x)的周期性可以证明F(0)+F(1)+…+F(2011)=0;然后利用连续函数的介值定理可以证明结论.
考试点:有界闭区域上连续函数的性质介值定理;零点定理及其推论的运用.
知识点:本题考查了周期函数的性质以及连续函数的零点存在定理,具有一定的综合性,难度系数适中.