设函数f（x）是周期为2012的连续函数．证明：存在ξ∈[0，2011]使得f（ξ）=f（ξ+1）．
问题描述：
设函数f（x）是周期为2012的连续函数．证明：存在ξ∈[0，2011]使得f（ξ）=f（ξ+1）．
答
记F（x）=f（x）-f（x+1），
由f（x）的性质知，F（x）是周期为2012的连续函数．
因为
F（0）+F（1）+…+F（2011）
=f（0）-f（1）+f（1）-f（2）+…+f（2011）-f（2012）
=f（0）-f（2012）=0，
∃i∈{0，1，…，2011}使得F（i）=0，则取ξ=i即可；
否则，必然存在i，j∈{0，1，…，2011}，使得F（i）•F（j）＜0，
从而根据连续函数的零点存在定理可得，
存在ξ∈[0，2011]，使得F（ξ）=0，
即：f（ξ）=f（ξ+1）．
答案解析：记F（x）=f（x）-f（x+1），利用f（x）的周期性可以证明F（0）+F（1）+…+F（2011）=0；然后利用连续函数的介值定理可以证明结论．
考试点：有界闭区域上连续函数的性质介值定理；零点定理及其推论的运用．
知识点：本题考查了周期函数的性质以及连续函数的零点存在定理，具有一定的综合性，难度系数适中．