如图所示,已知EG,FH为正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH.求证:四边形EFGH是正方形.

问题描述:

如图所示,已知EG,FH为正方形ABCD的对角线的交点O,EG⊥FH.
求证:四边形EFGH是正方形.

∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠2+∠3.
∵EG⊥FH,
∴∠1+∠3=90°.
∴∠1=∠2.
∴△COH≌△BOE.
∴OE=OH.
同理可证:OE=OF=OG.
∴OE+OG=OF+OH,即EG=FH.
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为正方形.
答案解析:根据正方形的性质求出△COH≌△BOE,得到OE=OH,同理可证OE=OF=OG,根据等量代换得到EG=FH,又因为EG⊥FH,所以四边形EFGH为正方形.
考试点:正方形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:根据正方形的性质求证三角形全等推出OE=OH=OF,根据矩形的判定得到四边形是矩形,根据垂直得出四边形是正方形是解决本题的关键.