已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:______;(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

问题描述:

已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.

(1)如图①,当∠MAN点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:______;
(2)如图②,当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;
(3)如图③,已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)

(1)如图①AH=AB.
(2)数量关系成立.如图②,延长CB至E,使BE=DN.
∵ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°,
在Rt△AEB和Rt△AND中,

AB=AD
∠ABE=∠ADN
BE=DN

∴Rt△AEB≌Rt△AND,
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,
∴∠EAM=∠NAM=45°,
在△AEM和△ANM中,
AE=AN
∠EAM=∠NAM
AM=AM

∴△AEM≌△ANM.
∴S△AEM=S△ANM,EM=MN,
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高,
∴AB=AH.
(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,
∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.
分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,
由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.
设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,
在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2
∴52=(x-2)2+(x-3)2(6分)
解得x1=6,x2=-1.(不符合题意,舍去)
∴AH=6.
答案解析:(1)由三角形全等可以证明AH=AB,
(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB,
(3)分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCE,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.
考试点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
知识点:本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断,不是很难.