f(x)在(0,+无穷)上为单调函数,且f[f(x)-log2x-x]=2,则f(2)=?
问题描述：
f(x)在(0,+无穷)上为单调函数,且f[f(x)-log2x-x]=2,则f(2)=?
答
答：
f(x)在x>0时是单调函数
f[f(x)-log2x-x]=2
所以：f(x)-log2(x)-x=k>0与x无关，是一个定值
所以：f(x)=log2(x)+x+k
求导：f'(x)=1/(xln2)+1>0恒成立
所以：f(x)是单调递增函数
f(k)=log2(k)+k+k=2
log2(k)=2-2k
k=1
所以：f(x)=log2(x)+x+1
所以：f(2)=log2(2)+2+1=4
所以：f(2)=4
答
∵ f(x)在(0,+无穷)上为单调函数
又∵ f[f(x)-log2x-x]=2
∴ f(x)-log2(x)-x是一个常量.设为t
则f(t)=2
∴ f(x)-log2(x)-x=t
∴ f(x)=t+log2(x)+x
∴ f(t)=t+log2(t)+t=2
即2t+log2(t)-2=0
∵ g(t)=2t+log2(t)-2是增函数,又g(1)=0
∴ t=1
∴ f(X)=1+log2(x)+x
∴ f(2)=1+log2(2)+2=4