已知关于x的二次方程anx2−an+1x+1＝0(n∈N*)的两根α，β满足6α-2αβ+6β=3，且a1=1（1）试用an表示an+1；（2）求数列的通项公式an；（3）求数列{an}的前n项和Sn．并求Sn的取值范围．
问题描述：
已知关于x的二次方程anx2−an+1x+1＝0(n∈N*)的两根α，β满足6α-2αβ+6β=3，且a1=1
（1）试用an表示an+1；
（2）求数列的通项公式an；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．并求Sn的取值范围．
答
（1）∵关于x的二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)的两根α，β，
∴α+β=
，αβ=an+1 an
，1 an
∵6α-2αβ+6β=3，
∴6•
-2•an+1 an
=31 an
∴an+1=
an+1 2
；1 3
（2）由（1）知，an+1-
=2 3
（an-1 2
），2 3
∴{an-
}是以2 3
为首项，公比为1 3
的等比数列，1 2
∴an-
=2 3
•(1 3
)n-1，1 2
∴an=
+2 3
•(1 3
)n-1；1 2
（3）Sn=
n+2 3
=
(1-1 3
)1 2n 1-
1 2
n+2 3
(1-2 3
)为递增函数，1 2n
∴Sn≥1．
答案解析：（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到结论；
（2）对（1）的结论两边同时减去
整理，证明数列{an-2 3
}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；2 3
（3）利用等比数列的求和公式，求和，即可求得结论．
考试点：数列递推式；数列的求和．
知识点：本题是对数列的递推关系以及韦达定理和等比数列知识的综合考查，考查数列的通项与求和，属于中档题．