已知向量a=(1+cosωx,1),b=(1,a+3sinωx)(ω为常数且ω>0),函数f(x)=a•b在R上的最大值为2.(1)求实数a的值;(2)把函数y=f(x)的图象向右平移π6ω个单位,可得函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,π4]上为增函数,求ω的最大值.

问题描述:

已知向量

a
=(1+cosωx,1),
b
=(1,a+
3
sinωx)(ω为常数且ω>0),函数f(x)=
a
b
在R上的最大值为2.
(1)求实数a的值;
(2)把函数y=f(x)的图象向右平移
π
个单位,可得函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,
π
4
]上为增函数,求ω的最大值.

(1)f(x)=1+cosωx+a+3sinωx=2sin(ωx+π6)+a+1.因为函数f(x)在R上的最大值为2,所以3+a=2,故a=-1.(2)由(1)知:f(x)=2sin(ωx+π6),把函数f(x)=2sin(ωx+π6)的图象向右平移π6ω个单位,可...
答案解析:(1)把向量

a
=(1+cosωx,1),
b
=(1,a+
3
sinωx)(ω为常数且ω>0),代入函数f(x)=
a
b
整理,利用两角和的正弦函数化为2sin(ωx+
π
6
)+a+1,根据最值求实数a的值;
(2)由题意把函数y=f(x)的图象向右平移
π
个单位,可得函数y=g(x)的图象,利用y=g(x)在[0,
π
4
]上为增函数,就是周期≥π,然后求ω的最大值.
考试点:三角函数的最值;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
知识点:本题是基础题,以向量的数量积为载体,三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力.