高玩来.{an}前n项合为Sn,且Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0 (n>=2),a1=1/2问：求an关系式
问题描述：
高玩来.
{an}前n项合为Sn,且Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0 (n>=2),a1=1/2
问：求an关系式
答
由题中式子： 除以SnS(n-1),得1/Sn-1/S(n-1)=2 (n>=2)
1/Sn为等差数列由a1=1/2 得1/S1=2得1/Sn=2n Sn=1/2n an=Sn-S(n-1）=-1/2n(n-1) (n>=2) 当n=1时a1=1/2。当n>=2时an=-1/2n(n-1)
答
因为Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0, 所以1/Sn-1/S(n-1)=2
令Tn=1/Sn，
则{Tn}是首项为2，公差为2的等差数列
所以Tn=2n, 所以Sn=1/2n，S(n-1)=1/2(n-1)
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2(n-1)
答
Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0
同时除了S(n-1)得出1/Sn-1/S(n-1)=2
所以,1/Sn为等差数列.
1/S1=2,所以1/Sn=2n,则Sn=1/2n
an=Sn-S(n-1）=-1/2n(n-1)
答
Sn-S(n-1)+2Sn*S(n-1)=0（等式两边同时除以Sn*S(n-1)）
1/S(n-1)-1/Sn=2
1/Sn-1/S(n-1)=-2
1/S(n-1)-1/S(n-2)=-2
.......
1/a3-1/a2=-2
1/a2-1/a1=-2
以上等式相加得
1/Sn-1/a1=-2-2-2-...-2
Sn=-2/(4n-5)