已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B点坐标;若不存在,说明理由

问题描述:

已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B点坐标;若不存在,说明理由

存在。
过A点在平面xoy内作直线AB垂直线段AO交Oy轴于B点,在三角形OAB中可求得OB=2,所以B点坐标(0,2,0)。
证明:PO垂直平面xoy,所以PO垂直AB,所以PA垂直于AB(三垂线定理)

b (0,2,0)
因为ab⊥oa, ab⊥po 所以ab⊥面opa, 所以pa⊥ab

(自己作图)
连接OA,
因为OA在平面XOY内,且P在Z轴上,
所以OP垂直于AB
所以若AB垂直于OA,则AB垂直于平面OAP,所以AB垂直宇OP
(下面假设AB垂直OA,解得即可,解得B的坐标为(0,2,0))

这个问题其实就是要找出一个与z轴和a点所组成的平面垂直的另一个平面,且这个平面要包含z轴,那么这个平面与Y轴相交汇的一个点就是了。