已知二次函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1在区间[−32，2]上的最大值为3，求实数a的值．
问题描述：
已知二次函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1在区间[−
，2]上的最大值为3，求实数a的值． 3 2
答
因为二次函数f（x）在区间[−
，2]上的最大值为3，3 2
所以必有f(−
)＝3，或f（2）=3，或f(−2a−1 2a
)＝3．3 2
（1）若f(−
)＝3，即1-2a−1 2a
=3，解得a＝−(2a−1)2
4a
，1 2
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=-2，且−2∉[−
，2]，3 2
故a=−
不合题意；1 2
（2）若f（2）=3，即4a+2（2a-1）+1=3，解得a＝
，1 2
此时抛物线开口向上，对称轴方程为x=0，闭区间的右端点距离对称轴较远，
故a＝
符合题意；1 2
（3）若f(−
)＝3，即3 2
a−9 4
(2a−1)+1=3，解得a＝−3 2
，2 3
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x=
，闭区间的左端点距离对称轴较远，故a＝−7 4
符合题意．2 3
综上，a＝
或a＝−1 2
．2 3
答案解析：由二次函数的性质可知：若f（x）在区间[−
，2]上的最大值为3，则必有f(−3 2
)＝3，或f（2）=3，或f(−2a−1 2a
)＝3，分情况求出a值，再加以验证即可．3 2
考试点：二次函数在闭区间上的最值．
知识点：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想、数形结合思想．