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如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC=30°）

分类: 作业答案 • 2022-04-16 10:42:58
问题描述：

如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC=30°）

答

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°．
∵tan∠BAC=

 3
3
，
∴sin∠BAC=
1
2
，
又∵sin∠BAC=
BC
AB
，AB=2R，
∴BC=2R×
1
2
=R，
AC=
 3
R，CD=
 3
R
2
．
∴V1=
1
3
πCD2(AD+BD)=
π
2
R3．
V2=
4π
3
R3，
∴V=V2-V1=
4π
3
R3−
π
2
R3=
5
6
πR3．
答案解析：要求旋转后阴影部分的体积即是球的体积减去两个圆锥的体积，根据AB=2R，tan∠BAC=
 3
3
可以求得AC，BC、CD的长，再根据圆锥的体积公式和球的体积公式进行计算．
考试点：组合几何体的面积、体积问题．

知识点：本题考查组合体的体积的求法，能够熟练运用锐角三角函数的概念进行求解，熟悉圆锥和球的体积公式．

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