已知sin(2α+β)=5sinβ,求证：2sin(α+β)=3tanα
问题描述：
已知sin(2α+β)=5sinβ,求证：2sin(α+β)=3tanα
答
原题有误，应为求证：2tan(α+β)=3tanα
sin(2α+β)=5sinβ
sin[α+(α+β)]=5sin[(α+β)-α]
sinαcos(α+β)+cosαsin(α+β)=5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα
2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα
2tan(α+β)=3tanα
答
sin(2α+β)=5sinβ
sin[α+(α+β)]=5sin[(α+β)-α]
sinα cos(α+β)+cosα sin(α+β)=5sin(α+β)cosα - 5 cos(α+β) sinα
6sinα cos(α+β) =4sin(α+β)cosα
3tanα = 2tan(α+β)
原命题结论有问题 可举反例
若α=45,已知sin(90+β)=5sinβ
cos β=5sinβ 所以 tanβ=1/5
但是结论2sin(45+β)≠3tan45