如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=4cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动,P、Q同时出发,若有一点运动到端点时,另一点也随之停止.则①CD=______cm;②经过______秒后,PQ=CD.
问题描述:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=4cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动,P、Q同时出发,若有一点运动到端点时,另一点也随之停止.则①CD=______cm;②经过______秒后,PQ=CD.
答
知识点:作直角梯形的另一条高是常见的辅助线之一.
熟练运用矩形的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质进行分析.
①作DH⊥BC于H,则四边形ABHD是矩形.
∴DH=AB=4,BH=AD=18.
∴CH=BC-AD=21-18=3.
根据勾股定理,得CD=5(cm).
②设经过t秒后,PQ=CD.
根据题意,得AP=2t,CQ=6t.
如图1,此时四边形PQCD是平行四边形,则PD=CQ,即18-2t=6t,t=2.25(秒);
如图2,此时四边形PQCD是等腰梯形.
作PG⊥BC于G.
6t-(18-2t)=6,
8t=24,
t=3(秒).
答案解析:①只需作直角梯形的另一条高,根据矩形的性质和勾股定理进行计算;
②需要考虑两种情况:四边形PQCD是平行四边形或四边形PQCD是等腰梯形.
根据平行四边形的对边相等和等腰梯形的上下底的差的一半等于3的2倍进行计算.
考试点:直角梯形;勾股定理.
知识点:作直角梯形的另一条高是常见的辅助线之一.
熟练运用矩形的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质进行分析.