已知△ABC为等腰三角形,由A点作BC边的高恰好等于BC边长的一半,则∠BAC的度数为______.

问题描述:

已知△ABC为等腰三角形,由A点作BC边的高恰好等于BC边长的一半,则∠BAC的度数为______.

如下图,分三种情况:①AB=BC,AD⊥BC,AD在三角形的内部,
由题意知,AD=

1
2
BC=
1
2
AB,
∵sin∠B=
AD
AB
=
1
2

∴∠B=30°,∠C=
180°−∠B
2
=75°,
∴∠BAC=∠C=75°;
②AC=BC,AD⊥BC,AD在三角形的外部,
由题意知,AD=
1
2
BC=
1
2
AC,
∵sin∠ACD=
AD
AC
=
1
2

∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB,
∵∠B=∠CAB,
∴∠BAC=15°;
③AC=BC,AD⊥BC,BC边为等腰三角形的底边,
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线,顶角的平分线重合知,点D为BC的中点,
由题意知,AD=
1
2
BC=CD=BD,
∴△ABD,△ADC均为等腰直角三角形,
∴∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠BAC=90°,
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°,
故填90°或75°或15°.
答案解析:本题要分情况讨论,根据等腰三角形的性质来①当AD在三角形的内部,②AD在三角形的外部以,③BC边为等腰三角形的底边三种情况.
考试点:等腰三角形的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.

知识点:本题考查了等腰三角形的性质,及三角形内角和定理、三角形的外角的性质;本题要分三种情况讨论:前两种情况为∠BAC为等腰三角形的底角,且AD在三角形内部还是外部;第三种为∠BAC为等腰三角形的顶角;这是正确解答本题的关键.