如图所示,△ABC为等边三角形,以AB为边向外作△ABD,使∠ADB=120°,然后把△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,如图所示,已知BD=5,AD=3.(1)由旋转可知线段BC,CD,BD的对应线段分别是什么?(2)求∠DAE的度数;(3)求∠BDC的度数;(4)求CE的长.

问题描述:

如图所示,△ABC为等边三角形,以AB为边向外作△ABD,使∠ADB=120°,然后把△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,如图所示,已知BD=5,AD=3.

(1)由旋转可知线段BC,CD,BD的对应线段分别是什么?
(2)求∠DAE的度数;
(3)求∠BDC的度数;
(4)求CE的长.

(1)BC对应AC,CD对应CE,BD对应AE.
(2)根据旋转的性质可得:∠EAC=∠DBC,
∴∠EAC=∠DBA+∠ABC,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC+∠DBA=120°+∠DBA,
∵∠ADB=120°,
∴∠DAE=∠BAD+∠BAE=∠BAD+120°+∠DBA=∠BAD+∠ADB+∠DBA=180°.
(3)∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE,
∴CD=CE,∠DCE=60°,
∴△CDE为等边三角形,
∴∠E=60°,
∴∠BDC=∠E=60°.
(4)由旋转可知AE=BD=5,
又∠DAE=180°,
∴DE=AE+AD=8.
而△CDE为等边三角形,
∴CE=DE=8.
答案解析:(1)可以观察旋转变换,找出对应边;
(2)∵∠BAE是△ABD的外角,可等于∠ABD+∠ADB,∴∠DAE就是△ABD的三个内角的和了;
(3)、(4)由于CD=CE及旋转角是60°,可证明△CDE是等边三角形,从而得出∠BDC的度数和CE的长度.
考试点:旋转的性质;三角形的外角性质;等边三角形的性质;等边三角形的判定.


知识点:本题考查旋转的性质,旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变.