在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC,∠ABD=∠DBC=30°,求证:四边形ABCD是等腰梯形.

问题描述:

在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2BC,∠ABD=∠DBC=30°,求证:四边形ABCD是等腰梯形.

证明:过D作DM∥BC,交AB于M,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,∠2=∠DBA=30°,
∵∠ABD=∠DBC=30°,
∴∠2=∠1=30°,
∴DC=CB,
∴四边形BCDM是菱形,
∴BM=CB=DM,
∵AB=2BC,
∴AM=MB=BC,
∴AM=DM,
∵DM∥CB,
∴∠3=∠ABC=30°+30°=60°,
∴△ADM是等边三角形,
∴AD=DM,
∴AD=BC,
∴四边形ABCD是等腰梯形.
答案解析:过D作DM∥BC,交AB于M,然后证明四边形BCDM是菱形可得BM=CB=DM,再由条件AB=2BC,可得AM=MB=BC,进而得到AM=DM,再证明△ADM是等边三角形可得AD=DM=BC,然后得到结论.
考试点:等腰梯形的判定.
知识点:此题主要考查了等腰梯形的判定,关键是证明四边形BCDM是菱形,△ADM是等边三角形.