1×3×5+3×5×7+5×7×9+…+101×103×105=?原理？

1*3*5=(3-2)*3*(3+2)=[(2n-1)-2]*(2n-1)*[(2n-1)+2]
=(2n-1){3次方}-4*(2n-1)
依次类推可以求出！

回答者： 粉色ぉ回忆 - 首席运营官 十三级
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原式=1*3*5+3*5*7+5*7*9+…+101*103*105
=（1*3*5+3*5*7+…+101*103*105）*8/8
={1*3*5*[7-（-1）]+3*5*7*（9-1）+…+101*103*105*（107-99）}/8
=[1*3*5*7-（-1）*1*3*5+3*5*7*9-1*3*5*7+…+101*103*105*107-99*101*103*105]/8
=[-（-1）*1*3*5+101*103*105*107]/8
=（15+101*103*105*107）/8
=116877720/8
=14609715

1·3·5＋3·5·7＋5·7·9＋…＋(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)。
此题按通常数列求和的方法，是将其通项展开，得一自然数的立方数列与平方数列以及一个等差数列与一个常数数列之和。如果我们对自然数的立方和平方和数列不熟，一切从头做起，那将是极其繁复的。
现在我们考虑一个比所求数列更为高阶(反而比原数列 更为复杂)但结构与之相似的数列：
S′n=1·3·5·7＋3·5·7·9＋5·7·9·11＋…
＋(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)(2n＋5)，
令 k=(2k－1)(2k＋1)(2k＋3)(2k＋5)(k=1，2，…，n)，
则 k＋1－ k=8(2k＋1)(2k＋3)(2k＋5)
于是有
2－ 1=8·3·5·7
2－ 2=8·5·7·9
……
n－ n－1=8(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)
将上述n个等式相加，得
n－ 1=8[3·5·7＋5·7·9＋…＋(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)]
=8(Sn－1·3·5)=8(Sn－15)
又 n=(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)(2n＋5)
1=1·3·5·7
∴Sn=n(2n3＋8n2＋7n－2)。
通过考虑一个比Sn中的数列更为高阶的数列，我们反而简捷地求出了Sn的值。这种从“低阶”到“高阶”就是从“简单”进到“复杂”的思想方法，而这种方法并非仅仅是个小小的技巧，事实上，它对如下几类数列的求和普遍适用：
设{ n}为等差数列，公差为d，且k≥2，试求：
①Sn= 1 2… k＋ 2 3… k＋1＋…＋ n n＋1… n＋k－1；
② 。

此题按通常数列求和的方法，是将其通项展开，得一自然数的立方数列与平方数列以及一个等差数列与一个常数数列之和。如果我们对自然数的立方和平方和数列不熟，一切从头做起，那将是极其繁复的。
现在我们考虑一个比所求数列更为高阶(反而比原数列 更为复杂)但结构与之相似的数列：
S′n=1·3·5·7＋3·5·7·9＋5·7·9·11＋…
＋(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)(2n＋5)，
令 k=(2k－1)(2k＋1)(2k＋3)(2k＋5)(k=1，2，…，n)，
则 k＋1－ k=8(2k＋1)(2k＋3)(2k＋5)
于是有
2－ 1=8·3·5·7
2－ 2=8·5·7·9
……
n－ n－1=8(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)
将上述n个等式相加，得
n－ 1=8[3·5·7＋5·7·9＋…＋(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)]
=8(Sn－1·3·5)=8(Sn－15)
又 n=(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)(2n＋5)
1=1·3·5·7
∴Sn=n(2n3＋8n2＋7n－2)。
通过考虑一个比Sn中的数列更为高阶的数列，我们反而简捷地求出了Sn的值。这种从“低阶”到“高阶”就是从“简单”进到“复杂”的思想方法，而这种方法并非仅仅是个小小的技巧，事实上，它对如下几类数列的求和普遍适用：
设{ n}为等差数列，公差为d，且k≥2，试求：
①Sn= 1 2… k＋ 2 3… k＋1＋…＋ n n＋1… n＋k－1；
② 。

象上述这种从“简单”进到“复杂”的思想方法，在解题中的应用是广泛的。下面再举一例。

通项an=n(n+2)(n+4)
令m=n+2
am=m∧3-4m
Sm==[m(m+1)/2]^2-9-2m(m+1)+12
Sn=n(2n3＋8n2＋7n－2)。

1×3×5+3×5×7+5×7×9+…+101×103×105
=1*3*5+(3*5*7*9-1*3*5*7)/8+(5*7*9*11-3*5*7*9)/8+...+(101*103*105*107-99*101*103*105)/8
=1*3*5+(101*103*105*107-1*3*5*7)/8
=15+(116877705-105)/8
=15+14609700
=14609715
--------------------------------
原理:
n*(n+2)*(n+4)=[n(n+2)(n+4)(n+6)-(n-2)n(n+2)(n+4)]/8

很难啊