已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值．
问题描述：
已知函数f（x）=x2+mx+nlnx（x＞0，实数m，n为常数）．若n+3m2=0（m＞0），且函数f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值为0，求m的值．
答
（1）当n+3m2=0时，f（x）=x2+mx-3m2lnx．
则f′(x)＝2x+m−
＝3m2
x
＝2x2+mx−3m2
x
．(2x+3m)(x−m) x
令f'（x）=0，得x＝−
（舍），x=m．3m 2
①当m＞1时，
∴当x=m时，fmin（x）=2m2-3m2lnm．
令2m2-3m2lnm=0，得m＝e
．2 3
②当0＜m≤1时，f'（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，f（x）在x∈[1，+∞）上为增函数，当x=1时，fmin（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．
综上所述，所求m为m＝e
．2 3