计算定积分 ∫(1→4)lnx/根号x dx
问题描述:
计算定积分 ∫(1→4)lnx/根号x dx
答
∫(1→4)lnx/√xdx
=2∫(1→4)lnxd(√x)
=2lnx√x(1→4)-2∫(1→4)(√x1/x)dx
=8ln2-2∫(1→4)(1/√x)dx
=8ln2-4√x(1→4)
=8ln2-(8-4)
=8ln2-4
答
令根号x=t,
当x∈[1,4]时,tx∈[1,2].
∫(1→4)lnx/根号x dx =∫(1→2)2lnt/t *2tdt=4∫(1→2)lntdt=4t*lnt |(1→2)-4∫(1→2)tdlnt=4*2ln2-4*1*ln1-4∫(1→2)t*1/tdt=8ln2-4∫(1→2)dt=8ln2-4t |(1→2)
=8ln2-4*2+4*1=8ln2-4