已知函数f（x）=（2x+2）e^（－x）
问题描述：
已知函数f（x）=（2x+2）e^（－x）
设函数Φ（x）=1/2xf（x）+1/2tf'（x）+e^（-x）,是否存在实数x1,x2∈［0,1］，使得2Φ（x1）＜Φ（x2）？若存在，求t的取值范围
答
f（x）=（2x+2）e^（－x）
f'(x)=2e^(-x)+(2x+2)e^(-x)*(-1)
=-2xe^(-x)
f'(x)>0即xe^(-x)设函数Φ（x）=1/2xf（x）+1/2tf'（x）+e^（-x）,是否存在实数x1,x2∈［0,1］，使得2Φ（x1）＜Φ（x2）？若存在，求t的取值范围Φ（x）=1/2xf（x）+1/2tf'（x）+e^（-x） =(x²+x)e^(-x)-txe^(-x)+e^(-x) =[x²+(1-t)x+1]e^(-x)Φ'（x）=(2x+1-t）e^(-x)-[x²+(1-t)x+1]e^(-x0=[-x²+(t+1)x-t]e^(-x)=-(x-t)(x-1)e^(-x)当t≤0时，在[0,1]上Φ'（x）≥0， Φ（x)递增 Φ（x)min=Φ(0)=1Φ（x)max=Φ(1)=(3-t)/e若存在实数x1,x2∈［0,1］，使得2Φ（x1）＜Φ（x2）则需2Φ(0)2∴t0