已知正数x,y满足x+2y=1,则1/(x+1)+2/y的最小值为?

问题描述:

已知正数x,y满足x+2y=1,则1/(x+1)+2/y的最小值为?
(注:已被验证:此题用基本不等式时等号不能成立)

∵x+2y=1∴x+1+2y=2
1/(x+1)+2/y=(x+1+2y)/2(x+1)+(x+1+2y)/y
=1/2+2+y/(x+1)+(x+1)/y≥5/2+2=9/2嗯,此时需要(x+1)²=y²,再将x=1-2y带入,得到此时y等于2或3分之2,但是无论是哪个值,对应的X都不是正数,与题意矛盾抱歉,上当,掉陷阱了!
设f(x)=1/(x+1)+2/y---①
x+2y=1,y=(1-x)/2代入①消去y
f(x)=1/(1+x)+4/(1-x)=(3x+5)/(1-x²)
f'(x)=[3(1-x²)+2x(3x+5)]/(1-x²)²=(3x+1)(x+3)/(1-x²)²
当x>0、x≠1,f‘(x)>0,f(x)是增函数
∴x无限趋近于0,即x=0时,f(x)min=5