设f（x）=e−xa+a/e−x是定义在R上的函数 （1）f（x）可能是奇函数吗？ （2）当a=1时，试研究f（x）的单调性．
问题描述：
设f（x）=
+e−x a
是定义在R上的函数a e−x
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）当a=1时，试研究f（x）的单调性．
答
（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域是R，所以f（-x）=-f（x）对任意x都成立，
即
+e−x a
=−(a e−x
+e−x a
)，整理得(a+a e−x
)(ex+e−x)＝0，1 a
即a+
＝0，即a2+1=0，显然该方程无解，1 a
所以f（x）不可能是奇函数．
（2）当a=1时，f（x）=ex+e-x，以下讨论其单调性；
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=ex1+e−x1−ex2−e−x2=
，(ex1−ex2)(ex1+x2−1)
ex1•ex2
其中ex1•ex2＞0，ex1−ex2＜0，当ex1+x2−1＞0时，f（x1）＜f（x2），f（x）为减函数，
此时需要x1+x2＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减函数，
即函数在区间[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上为减函数．