已知函数f(x)=x−1+1/2x2−2,试利用基本初等函数的图象,判断f(x)有几个零点,并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).

问题描述:

已知函数f(x)=x−1+

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x2−2,试利用基本初等函数的图象,判断f(x)有几个零点,并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1).

由f(x)=0,得x-1=-

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x2+2,令g(x)=x-1,m(x)=-
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x2+2,
分别画出它们的图象如图,其中抛物线的顶点坐标为(0,2),与x轴的交点为(-2,0)、(2,0),g(x)与m(x)的图象有3个交点,
从而函数f(x)有3个零点.
由f(x)的解析式知x≠0,f(x)的图象在(-∞,0)和(0,+∞)上分别是连续不断的曲线,
且f(-3)=
13
6
>0
,f(-2)=-
1
2
<0
,f(
1
2
)=
1
8
>0
,f(1)=
1
2
<0,f(2)=
1
2
>0,
即f(-3)f(-2)<0,f(
1
2
)f(1)<0,f(1)f(2)<0,
∴3个零点分别在区间(-3,-2),(
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,1),(1,2),