设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y，z−y＝2，试求积abc的所有可能的值．
问题描述：
设x=a+b-c，y=a+c-b，z=b+c-a，其中a，b，c是待定的质数，如果x2=y，
−
z
＝2，试求积abc的所有可能的值．
y
答
因为a+b-c=x，a+c-b=y，b+c-a=z，联立解得
（a，b，c）=（
(x+y)，1 2
(x+z)，1 2
(y+z)）（5分）1 2
又y=x2，于是有：a＝
(x+x2)，（1）1 2
b=
（x+z），（2）1 2
c＝
(x2+z)，（3）1 2
由（1）解得x=
（4）−1±
1+8a
2
因x是整数，得1+8a=T2，其中T是正奇数，（10分）
于是，2a＝
•T−1 2
又a是质数，故只能有T+1 2
＝aT+1 2
＝2T−1 2
所以T=5，a=3．（15分）
代a=3入（4）得x=2，-3
当x=2时，y=x2=4，因而有
−2＝2，z＝16，
z
代入（2）、（3）得b=9，c=10，与b、c是质数矛盾，应舍去．（20分）
当x=-3时，y=9，
−3＝2，
z
所以z=25代入（2）、（3）得b=11，c=17，
故abc=3×11×17=561．（25分）