设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,z−y=2,试求积abc的所有可能的值.
问题描述:
设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,
−
z
=2,试求积abc的所有可能的值.
y
答
因为a+b-c=x,a+c-b=y,b+c-a=z,联立解得
(a,b,c)=(
(x+y),1 2
(x+z),1 2
(y+z))(5分)1 2
又y=x2,于是有:a=
(x+x2),(1)1 2
b=
(x+z),(2)1 2
c=
(x2+z),(3)1 2
由(1)解得x=
(4)−1±
1+8a
2
因x是整数,得1+8a=T2,其中T是正奇数,(10分)
于是,2a=
•T−1 2
又a是质数,故只能有T+1 2
=aT+1 2
=2T−1 2
所以T=5,a=3.(15分)
代a=3入(4)得x=2,-3
当x=2时,y=x2=4,因而有
−2=2,z=16,
z
代入(2)、(3)得b=9,c=10,与b、c是质数矛盾,应舍去.(20分)
当x=-3时,y=9,
−3=2,
z
所以z=25代入(2)、(3)得b=11,c=17,
故abc=3×11×17=561.(25分)
答案解析:首先把x当作已知数,则a,b,c都可以利用x表示出来,可以得到x=
,根据x是整数,则1+8x一定是一个平方数,设1+8a=T2,其中T是正奇数,即2a=−1±
1+8a
2
•T−1 2
,根据a是质数,即可求得T的值.从而求得x的值,进而求解.T+1 2
考试点:质数与合数.
知识点:本题主要考查了质数的性质,根据质数的性质求得T的值是解决本题的关键.