设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,z−y=2,试求积abc的所有可能的值.

问题描述:

设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,

z
y
=2,试求积abc的所有可能的值.

因为a+b-c=x,a+c-b=y,b+c-a=z,联立解得
(a,b,c)=(

1
2
(x+y),
1
2
(x+z),
1
2
(y+z))(5分)
又y=x2,于是有:a=
1
2
(x+x2)
,(1)
b=
1
2
(x+z),(2)
c=
1
2
(x2+z)
,(3)
由(1)解得x=
−1±
1+8a
2
(4)
因x是整数,得1+8a=T2,其中T是正奇数,(10分)
于是,2a=
T−1
2
T+1
2
又a是质数,故只能有
T+1
2
=a
T−1
2
=2

所以T=5,a=3.(15分)
代a=3入(4)得x=2,-3
当x=2时,y=x2=4,因而有
z
−2=2,z=16

代入(2)、(3)得b=9,c=10,与b、c是质数矛盾,应舍去.(20分)
当x=-3时,y=9,
z
−3=2

所以z=25代入(2)、(3)得b=11,c=17,
故abc=3×11×17=561.(25分)
答案解析:首先把x当作已知数,则a,b,c都可以利用x表示出来,可以得到x=
−1±
1+8a
2
,根据x是整数,则1+8x一定是一个平方数,设1+8a=T2,其中T是正奇数,即2a=
T−1
2
T+1
2
,根据a是质数,即可求得T的值.从而求得x的值,进而求解.
考试点:质数与合数.
知识点:本题主要考查了质数的性质,根据质数的性质求得T的值是解决本题的关键.