设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,z−y=2,试求积abc的所有可能的值.

问题描述:

设x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a,其中a,b,c是待定的质数,如果x2=y,

z
y
=2,试求积abc的所有可能的值.

因为a+b-c=x,a+c-b=y,b+c-a=z,联立解得(a,b,c)=(12(x+y),12(x+z),12(y+z))(5分)又y=x2,于是有:a=12(x+x2),(1)b=12(x+z),(2)c=12(x2+z),(3)由(1)解得x=−1±1+8a2(4)因x是整数,得1+...
答案解析:首先把x当作已知数,则a,b,c都可以利用x表示出来,可以得到x=

−1±
1+8a
2
,根据x是整数,则1+8x一定是一个平方数,设1+8a=T2,其中T是正奇数,即2a=
T−1
2
T+1
2
,根据a是质数,即可求得T的值.从而求得x的值,进而求解.
考试点:质数与合数.
知识点:本题主要考查了质数的性质,根据质数的性质求得T的值是解决本题的关键.