求满足条件p(0)=p(1)=p'(1)=0,p(2)=1的插值多项式p(x)
问题描述：
求满足条件p(0)=p(1)=p'(1)=0,p(2)=1的插值多项式p(x)
设p(x)=ax(x-1)(x+b),
则 p '(x)=a(x-1)(x+b)+ax(x+b)+ax(x-1),
所以 p '(1)=a(1+b)=0,（1）
p(2)=2a(2+b)=1,（2）
b=-1,a=1/2,
为什么这样设呢?
p(x)的通项公式是什么？p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n,
p(0)=p(1)=0 说明这个多项式有因子 x(x-1) 明白，但 p '(1)=0 p(2)=1又各说明了什么？余自知资质一般，但求心里明白。
答
p(0)=p(1)=0 ,说明这个多项式有因子 x(x+1) ,
如果这个多项式是 2 次的,就该设 p(x)=ax(x+1) ,
但 p '(1)=0 及 p(2)=1 不会同时满足 ,
因此多项式至少是 3 次.也可以设为 p(x)=x(x+1)(ax+b) .我又补充了点我的疑问，希望你能耐心点，让我明白O(∩_∩)O谢谢p '(1)=0 说明多项式在 x=1 处有极值，p(2)=1 说明多项式过（2，1）。由 p(1)=p '(1)=0 可得多项式有因子 (x-1)^2 ，再结合 p(0)=0 ，有因子 x ，那么可直接设 p(x)=ax(x-1)^2 ，再利用 p(2)=1 轻松求得 a=1/2 ，那么很快可得 p(x)=1/2*x(x-1)^2 。前面那个因子说 x+1 都错了哈。。。。