设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（ ） A.1 B.3 C.2 D.3
问题描述：
设a，b，c为实数，且a≠0，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点在直线y=-1上.若△ABC是直角三角形，则Rt△ABC面积的最大值是（ ）
A. 1
B.
3
C. 2
D. 3
答
设y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，c），c≠0，交x轴于点A（x1，0）、B（x2，0），且x1＜0＜x2，
由△ABC是直角三角形知，点C必为直角顶点，且c2=（-x1）x2=-x1x2（射影定理的逆定理），
由根与系数的关系得，x1+x2=-
，x1•x2=b a
，c a
所以c2=-
，c=-c a
，1 a
又
=-1，即4a=4+b2，且a≥1，4ac−b2
4a
所以S△ABC=
|c|•|x1-x2|=1 2
1 2a
，
(x1+x2)2−4x1x2
=
1 2a
，
+b2 a2
4 a2
=
≤1，1 a
a
当且仅当a=1，b=0，c=-1时等号成立，因此，Rt△ABC的最大面积是1．
故选A．