△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°,a+c=2b,求C.

问题描述:

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°,a+c=

2
b,求C.

由A-C=90°,得A=C+90°,B=π-(A+C)=90°-2C(事实上0°<C<45°),
由a+c=

2
b,根据正弦定理有:sinA+sinC=
2
sinB
,∴sin(C+90°)+sinC=
2
sin(90°-2C),
即cosC+sinC=
2
coc2C=
2
(cos2C−sin2C)=
2
(cosC+sinC)(cosC-sinC),
∵cosC+sinC≠0,∴cosC-sinC=
2
cos(C+45°)=
2
2
,cos(C+45°)=
1
2
,C+45°=60°,∴C=15°.