△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°,a+c=2b,求C.
问题描述:
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知A-C=90°,a+c=
b,求C.
2
答
由A-C=90°,得A=C+90°,B=π-(A+C)=90°-2C(事实上0°<C<45°),
由a+c=
b,根据正弦定理有:sinA+sinC=
2
sinB,∴sin(C+90°)+sinC=
2
sin(90°-2C),
2
即cosC+sinC=
coc2C=
2
(cos2C−sin2C)=
2
(cosC+sinC)(cosC-sinC),
2
∵cosC+sinC≠0,∴cosC-sinC=
cos(C+45°)=
2
,cos(C+45°)=
2
2
,C+45°=60°,∴C=15°.1 2