x+y为有理数,x^2+y^2为有理数 求证x^4+y^4为有理数

问题描述:

x+y为有理数,x^2+y^2为有理数 求证x^4+y^4为有理数
求证 x^8+y^8为有理数

因为(x+y)^2=x^2+y^2+2xy 为有理数
x^2+y^2为有理数
所以xy是有理数
所以x^4+y^4=(x^2+y^2)-2x^2y^2为有理数
同理x^8+y^8=(x^4+y^4)-2x^4y^4为有理数
小结:有理数的运算是封闭的,只需将需证式转化为有理数的运算的形式,问题便可解决.