帮忙看一道关于无穷级数的问题,
问题描述：
帮忙看一道关于无穷级数的问题,
已知f(x)=Σx^n/n （以下n的范围都是1到∞）,求g(x)=∫x^2*f ' (x)dx及其泰勒展开式、收敛域.
g(x)=[(1-x^2)*ln(1-x)]/2+x^2/4+x/2+c=c+Σx^(n+2)/[n*(n+2)]
可是我怎么算g(x)都等于-x^2/2-x-ln(1-x)+c跟答案差好远.g(x)=∫x^2/(1-x)*dx这一步没错吧?
答
从答案来看,f(x)＝Σx^n/n^2,而不是题目的形式.
此时令h(x)=xf'(x)=Σx^n/n＝－ln(1－x).
于是 g(x)＝∫x^2*f ' (x)dx＝∫x*h(x)dx=－∫xln(1－x)dx,然后分部积分就可以了.
这样与答案一致.果然是题目少了个平方。可是g(x)是怎么展开成答案中的泰勒级数的？f'(x)＝Σx^(n－1)/n，x^2f'(x)=Σx^(n+1)/n，g(x)=∫x^2*f ' (x)dx进行逐项积分就可以了。进行逐项积分之后ln(1-x)=-Σx^n/n，可是x^2/4+x/2这两项怎么处理？还有ln(1-x)前面的(1-x^2)/2怎么处理呢？这是分开来做的，就是求幂级数时直接用 x^2f'(x)=Σx^(n+1)/n， g(x)=∫x^2*f ' (x)dx进行逐项积分就可以了。 求原函数时，不用上面的逐项积分了，而是 令h(x)=xf'(x)=Σx^n/n＝－ln(1－x)。 于是 g(x)＝∫x^2*f ' (x)dx＝∫x*h(x)dx=－∫xln(1－x)dx，然后分部积分就可以了。