已知函数g（x）=-x2-3，f（x）是二次函数，当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式．

分类: 作业答案 • 2022-03-26 19:06:59

问题描述：

已知函数g（x）=-x²-3，f（x）是二次函数，当x∈[-1，2]时f（x）的最小值为1，且f（x）+g（x）为奇函数，求函数f（x）的解析式．

答

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），则f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵f（x）+g（x）为奇函数，∴a=1，c=3
∴f（x）=x²+bx+3，对称轴x=-

，
①当-

＞2，即b＜-4时，f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f（x）的最小值为f（2）=4+2b+3=1，∴b=-3，∴此时无解
②当-1≤-

≤2，即-4≤b≤2时，f（x）_min=f（-

）=3-

=1，∴b=±2

∴b=-2

，此时f（x）=x²-2

x+3，
③当-

＜-1s时，即b＞2时，f（x）在[-1，2]上为增函数，
∴f（x）的最小值为f（-1）=4-b=1，
∴b=3，∴f（x）=x²+3x+3，
综上所述，f（x）=x²-2

x+3，或f（x）=x²+3x+3．