已知,AB、AC是圆O的切线,B、C是切点,BD是圆O的直径,连接AO、CD, (1)求证:OA∥CD; (2)过D点作AC的平行线,分别交AB、AO于E、F,若AB=BD,求tan∠BDE的值.
问题描述:
已知,AB、AC是圆O的切线,B、C是切点,BD是圆O的直径,连接AO、CD,
(1)求证:OA∥CD;
(2)过D点作AC的平行线,分别交AB、AO于E、F,若AB=BD,求tan∠BDE的值.
答
(1)连接BC,交OA于点G,
∵AB、AC是圆O的切线,B、C是切点,
∴AB=AC,AO为∠CAB的平分线,
∴AG⊥BC,
∴∠GOC+∠GCO=90°,
∵BD为圆O的直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠GCO+∠OCD=90°,
∴∠GOC=∠OCD,
∴OA∥CD;
(2)∵DE∥AC,
∴∠AFE=∠CAF,
∵∠EAF=∠CAF,
∴∠AFE=∠EAF,
∴∠BED=2∠EAF,
∵AB=BD,O为BD的中点,
∴tan∠BAO=
,1 2
∴tan∠BED=
=2tan∠BAO 1−tan2∠BAO
,4 3
则tan∠BDE=
.3 4