已知函数f（x）=x3+（a-1）x2+bx，f（x）在x=1处的切线斜率为-9，且f（x）的导函数f′（x）为偶函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的极值．

分类: 作业答案 • 2022-03-26 15:19:17

问题描述：

已知函数f（x）=x³+（a-1）x²+bx，f（x）在x=1处的切线斜率为-9，且f（x）的导函数f′（x）为偶函数．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

答

（Ⅰ）依题意得f′（x）=3x²+2（a-1）x+b，
∵函数f（x）=x³+（a-1）x²+bx，f（x）在x=1处的切线斜率为-9，且f（x）的导函数f′（x）为偶函数，
∴

3+2(a−1)+b＝9

a＝1

，
∴a=1，b=-12；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3x²-12=0，可得x=±2，
x∈（-∞，-2），函数单调递增，x∈（-2，2），函数单调递减，x∈（2，+∞），函数单调递增，
∴x=-2时，函数取得极大值16，x=2时，函数取得极小值-16．

已知函数f（x）=x3+（a-1）x2+bx，f（x）在x=1处的切线斜率为-9，且f（x）的导函数f′（x）为偶函数． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ） 求f（x）的极值．