圆台的上、下底面半径分别为6和12,平行于底面的截面自上而下分母线为2:1两部分,则截面的面积为_.

问题描述:

圆台的上、下底面半径分别为6和12,平行于底面的截面自上而下分母线为2:1两部分,则截面的面积为______.

如图,圆台的轴截面为ABCD,截得此圆台的圆锥的轴截面为OAB,
圆台上底半径为FC=6,下底半径为EB=12,截面半径为MN,
则由题意可得,可令CN=2x,BN=x.
由直角三角形OFC与直角三角形OEB相似可得

FC
EB
=
OC
OB
,即
6
12
=
OC
OC+2x+x

∴OC=3x.
再由△PMN与△OEB相似可得
MN
EB
=
ON
OB
,即
MN
12
=
3x+2x
3x+2x+x
,解得 MN=10,
故截面的面积为 π MN2=100π,
故答案为 100π.