连接椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的两个短轴的顶点和一个焦点组成一个直角三角形,且椭圆的相邻两个顶点的距离为6倍根6,求椭圆的方程.
问题描述：
连接椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的两个短轴的顶点和一个焦点组成一个直角三角形,且椭圆的相邻两个顶点的距离为6倍根6,求椭圆的方程.
答
两个短轴的顶点和一个焦点组成一个直角三角形,则BF⊥DF（BD为椭圆上下顶点,F为右焦点）
B(0,b),D(0,-b),F(c,0),向量BF=（c,-b）向量DF=（c,b）两向量点乘为0,得到c^2=b^2
椭圆的相邻两个顶点的距离为6倍根6,则这个由长半轴和短半轴组成的直角三角形满足勾股定理,即a^2+b^2=(6倍根6)^2=216
椭圆中,c^2=a^2-b^2
联立解得a^2=144,b^2=72
所以椭圆方程：X^2/144+Y^2/72=1