如图所示.正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E,F,使DE=AD,DF=BD,连接BF分别交CD,CE于H,G.求证:△GHD是等腰三角形.

问题描述:

如图所示.正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E,F,使DE=AD,DF=BD,连接BF分别交CD,CE于H,G.求证:△GHD是等腰三角形.

证明:∵四边形ABCD是正方形,DE=AD,
∴DE∥BC,DE=BC,
∴四边形BCED为平行四边形,
∴∠1=∠4.
又∵BD=FD,
∴∠1=∠2=∠3=

1
2
×45°,∠3=∠4=
1
2
×45°,
∴BC=GC=CD.
因此,△DCG为等腰三角形,且顶角∠DCG=45°,
∴∠CDG=
1
2
(180°-45°)=
135°
2

又∵∠GHD=90°-∠3=90°-
45°
2
=
135°
2

∴∠HDG=∠GHD,
从而GH=GD,即△GHD是等腰三角形.