在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F为BC的中点,连接DE、DF、EF,则结论:①DF=EF;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°时,BE=2DE中,一定正确的有(  

问题描述:

在锐角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE为高,F为BC的中点,连接DE、DF、EF,则结论:①DF=EF;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等边三角形;④BE+CD=BC;⑤当∠ABC=45°时,BE=

2
DE中,一定正确的有(  )
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

①∵BD、CE为高,∴∠BDC=∠CEB=90°,又∵F为BC的中点,∴DF=

1
2
BC,EF=
1
2
BC,∴DF=EF;
②∵∠A=∠A,∠ADB=∠AEC,∴△ADB∽△AEC,∴AD:AB=AE:AC;
③∵∠BAC=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,∵DF=CF,EF=BF,∴∠BEF+∠CDF=120°,∴∠BFE+∠CFD=120°,∴∠DFE=60°,又∵DF=EF,∴△DEF是等边三角形;
④∵∠BAC=60°,BD、CE为高,
∴∠ABD=∠ACE=30°,
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°,
∴∠CBD=60°-∠BCE,
∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•(sin∠BCE+sin∠CBD)=BC•[sin∠BCE+sin(60°-∠BCE)],
不一定等于BC;
⑤∵∠ABC=45°,∴BE=
2
2
BC=
2
DE.
正确的共4个.
故选C.