解下列一阶线性微分方程 dy/dx=(x^2+y^2)/xy,y(-1)=2.
问题描述：
解下列一阶线性微分方程 dy/dx=(x^2+y^2)/xy,y(-1)=2.
答
解下列一阶线性微分方程 dy/dx=(x²+y²)/xy,y(-1)=2.
dy/dx=x/y+y/x=1/(y/x)+y/x=1/u+u,其中u=y/x,即y=ux,于是dy/dx=u+x(du/dx)
故得u+x(du/dx)=1/u+u,即有x(du/dx)=1/u,分离变量得udu=dx/x,
积分之得u²/2=ln︱x︱+c/2,即u²=lnx²+c,
将u=y/x 代入即得通解(y/x)²=lnx²+c
将初始条件y(-1)=2代入得c=4,
于是得特解为y²=x²(lnx²+4)