已知不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是 _.

问题描述:

已知不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是 ______.

不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集等价于:
b2-4a2≤0且a>0,b>0
得(b+2a)(b-2a)≤0,且a>0,b>0
即:b+2a与b-2a异号且a>0,b>0
不难画出点P(a,b)的可行域,
记A(0,1),|PA|2=a2+(b-1)2,a2+b2-2b=|PA|2-1,
|PA|的最小值即A点到直线b-2a=0的距离为

5
5

故:a2+b2-2b∈[
4
5
,+∞).
故答案为:[−
4
5
,+∞)