f'(x)在[0,+∞)上单调增加,且f(0)=0,证函数F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加
问题描述：
f'(x)在[0,+∞)上单调增加,且f(0)=0,证函数F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加
答
F'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²
令g(x)=xf'(x)-f(x),则g(0)=0-f(0)=0
g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)
因为f'(x)在[0,+∞)上增,所以
当x∈[0,+∞)时,有f''(x)≥0,从而 g'(x)=xf''(x)≥0
所以 g(x)在[0,+∞)上是增函数,所以
当x>0时,有g(x)>g(0)=0
从而 F'(x)=g(x)/x²>0,
即F(x)在(0,+∞)上单调增加.