已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(cosβ,sinβ),且向量a与向量b之间有关系试
问题描述：
已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(cosβ,sinβ),且向量a与向量b之间有关系试
：∣k向量a+向量b∣=√ 3∣向量a-k向量b∣,其中k>0
(1)试用k 表示向量a 乘以 向量b;
(2)求向量a 乘以 向量b的最小值,并求此时向量a与向量b的夹角θ的值
请数学高手做题一定要过程 详细的可以加分 小弟在这先谢谢了↘
答
∣k向量a+向量b∣=√ 3∣向量a-k向量b∣
两式平方
k²a²+b²+2kab=3(a²+k²b²-2kab)
整理
(k²-3)a²+(1-3k²)b²+8kab=0
a²=sin²θ+cos²θ=1
b²=cos²β+sin²β=1
a*b=cosθcosβ+sinθsinβ=cos(θ-β)
代入可得
k²-3+1-3k²+8kcos(θ-β)=0
整理
cos(θ-β)=(k²+1)/4k=k/4+1/4k>=2√(k/4*1/4k)=1/2
等号当且仅当k/4=1/4k时取到,此时k=1,符合题意
此时θ-β=2kπ+π/3,k∈Z
由于条件不足,β无法求出,导致θ无法求出