△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜π2
问题描述：
△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜
π 2
答
知识点：方法一； 使用余弦定理，方法二，使用反证法，方法二比较简单．
证明：方法一：已知
+1 a
＝1 c
．2 b
得b＝
，2ac a+c
a2+c2−b2＝a2+c2−(
)2≥2ac−2ac a+c
=2ac(1−4a2c2
(a+c)2
)≥2ac(1−2ac (a+c)2
)＞0．2ac 4ac
即cosB=
＞0
a2+c2−b2
2ac
故B＜
π 2
法2：反证法：假设B≥
．π 2
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则
＜1 b
，1 a
＜1 b
1 c
可得
＜2 b
+1 a
与已知矛盾，1 c
假设不成立，原命题正确．
答案解析：方法一； 使用余弦定理，由已知求出b＝
，计算cosB=2ac a+c
＞0，故B＜
a2+c2−b2
2ac
π 2
方法二：反证法，假设B≥
，则 b为最大边，有b＞a＞0，b＞c＞0．π 2
则
＜1 b
，1 a
＜1 b
，可得1 c
＜2 b
+1 a
，1 c
与已知矛盾，
考试点：不等式的证明．
知识点：方法一； 使用余弦定理，方法二，使用反证法，方法二比较简单．