设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

问题描述:

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

证明:如图因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(

p
2
,0),
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+
p
2

代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,
所以y1y2=-p2
因为BC∥x轴,且点c在准线x=-
p
2
上,
所以点c的坐标为(-
p
2
,y2),
故直线CO的斜率为k=
y2
-
p
2
=
2p
y1
=
y1
x1

即k也是直线OA的斜率,
当直线AB的斜率不存在时,结论亦成立.
所以直线AC经过原点O.