设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
问题描述:
设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.
答
证明:如图因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(
,0),p 2
所以经过点F的直线的方程可设为x=my+
;p 2
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0,
若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,
所以y1y2=-p2.
因为BC∥x轴,且点c在准线x=-
上,p 2
所以点c的坐标为(-
,y2),p 2
故直线CO的斜率为k=
=y2 -
p 2
=2p y1
.y1 x1
即k也是直线OA的斜率,
当直线AB的斜率不存在时,结论亦成立.
所以直线AC经过原点O.