函数f(x)=2asin2x-23asinxcosx+a+b,x∈[0,π2],值域为[-5,1],求a,b的值.

问题描述:

函数f(x)=2asin2x-2

3
asinxcosx+a+b,x∈[0,
π
2
]
,值域为[-5,1],求a,b的值.

∵函数f(x)=2asin2x-2

3
asinxcosx+a+b=a(1-cos2x)-
3
asin2x+a+b=-2asin(2x+
π
6
)+2a+b,
又x∈[0,
π
2
]
,∴
π
6
≤2x+
π
6
6
,-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1.
当a>0时,有
3a+b=1
b=−5
,解得 a=2,b=-5.
当a<0时,有
b=1
3a+b=−5
,解得 a=-2,b=1.
综上可得,当a>0时,a=2,b=-5; 当a<0时,a=-2,b=1.