已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1),且过点A(2,t), (I)求t的值; (II)若点P、Q是抛物线C上两动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求

问题描述:

已知抛物线C的顶点在原点,焦点为F(0,1),且过点A(2,t),
(I)求t的值;
(II)若点P、Q是抛物线C上两动点,且直线AP与AQ的斜率互为相反数,试问直线PQ的斜率是否为定值,若是,求出这个值;若不是,请说明理由.

(I)依照条件可知:抛物线过原点,且焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=2py 
由条件焦点为F(0,1),得抛物线方程为x2=4y    …(3分)
∴把点A代入x2=4y,得t=1               …(6分)
(II)当KAP和KAQ不存在时,P或Q其中一点与A重合,一点与A平行于X轴,其中一个斜率为0,一个为无穷大,不符合题意.
设直线AP的斜率为k,AQ的斜率为-k,
则直线AP的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-(2k-1)
联立方程:

y=kx−(2k−1)
x2=4y

消去y,得:x2-4kx+4(2k-1)=0             …(9分)
∵xAxP=4(2k-1),A(2,1)
∴xP=4k-2
∴yP=4k2-4k+1
同理,得xQ=-4k-2,yQ=4k2+4k+1…(12分)
kPQ= 
yQyP
xQxP
=−1
是一个与k无关的定值.…(15分)