1.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A（1,0）点P、Q在双曲线的右支上,点M（m,0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k,且|k|∈[3分之根号3,根号3],求实数m的取值范围；（2）当m=根号2+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.2.设F是抛物线y^2=4mx（m＞0）的焦点,过点M（-1,0）且以向量n=（λ,1）为方向向量的直线顺次交抛物线于A、B两点.（1）当λ=2时,若向量FA与向量FB的夹角为2π/3,求抛物线的方程；（2）若点A、B满足：向量FA=1/2*（向量FM+向量FB）,证明mλ^2为定值,并求此时△AFB的面积.
问题描述：
1.已知双曲线的中心在原点,右顶点为A（1,0）点P、Q在双曲线的右支上,点M（m,0）到直线AP的距离为1.
（1）若直线AP的斜率为k,且|k|∈[3分之根号3,根号3],求实数m的取值范围；
（2）当m=根号2+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.
2.设F是抛物线y^2=4mx（m＞0）的焦点,过点M（-1,0）且以向量n=（λ,1）为方向向量的直线顺次交抛物线于A、B两点.
（1）当λ=2时,若向量FA与向量FB的夹角为2π/3,求抛物线的方程；
（2）若点A、B满足：向量FA=1/2*（向量FM+向量FB）,证明mλ^2为定值,并求此时△AFB的面积.
答
1（2）.三角形APQ的内心恰好是M,所以AM平分∠PAQ
∵AM在x轴上
所以PQ关于X轴对称
设P（x1,y1),Q(x1,-y1)
m=√2+1,
∴AM=√2
M(m,0)到直线AP的距离是1
所以∠PAM=45°
∠PAQ=90°
y1/(x1-1)=1
kpm=√2＋1
y1/(x1-√2－1）=√2＋1
x1=√2＋2,y1=√2＋1
x²-y²/b²=1
b²=（2√2＋1）／7
x²-y²/（2√2-1）=1