已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．
答
从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-
．
又f（-1）=6，f（-
）=
，
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-
=-5（x+
），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．
（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=
m，1 3
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，-m） | -m | （-m，
|
|
（
|
||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-
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又f（-1）=6，f（-
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所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-
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即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．