如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,且AD+BC=CD (1）以CD为直径作圆O,求证:AB于圆O相切；(2)以AB为直径作圆O′,求证:CD于圆O′相切

证明:
方法①
过AB的中点O作OE⊥CD于E. S梯形ABCD=21(AD+BC) •AB=(AD+BC) •OA =2(21AD•OA+21BC•OB) =2(S⊿OAD +S⊿OBC)
由S梯形ABCD =S⊿OBC+ S⊿OAD+ S⊿OCD ∴S⊿OBC+ S⊿OAD=S⊿OCD ∴21AD•OA+21BC•OA=21CD·OE ∴21(AD+BC) ·OA=21CD·OE又AD+BC=CD ∴OA=OE,∴E点在以AB为直径的⊙O上又OE⊥CD ∴CD是⊙O的切线 即CD与⊙O相切

方法② 在CD上取中点F连接OF有梯形中位线可知OF=21(AD+BC)= 21CD ∴O点在以CD为直径的⊙F上 ∴∠1=∠3,∠2=∠4又OF∥AD∥BC ∴∠5=∠3,∠6=∠4 ∴∠1=∠5, ∠2=∠6 在CD上取点E且DE=DA则CE=CB ∴⊿OAD≌⊿OED, ⊿OBC≌⊿OEC ∴∠A=∠OED=90°, ∠B=∠OEC=90° ∴OE⊥CD,且OE的长为⊙O的半径∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。由CD为直径的⊙F与AB相切于O则OD⊥OC. ∴CD=)(10862222cmOCOD

⑴过O作OE⊥AB于E,∵∠A=∠B=90°,∴AD∥OE∥BC,
∵O为CD的中点,∴E为AB的中点,
OE=1/2(AD+BC)=1/2CD=半径,
∴AB与⊙O相切.
⑵连接DO'交CB延长线于F,
∵AD∥BC,∴∠O'AD=∠O'BF,∠O'DA=∠O'FB,又OA=OB,
∴ΔO'AD≌ΔO'BF,∴O'D=O'B',AD=BF,
∴CD=AD+BC=BF,
∴CO'⊥DF,∠O'CD=∠O'CB,
过O'作O'G⊥CD,则O'G=O'B,
∴CD为⊙O'的切线.
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